Princípio Multiplicativo e Permutações Atividades

1. Princípio Multiplicativo e Permutações: (Ufrj) Um marcador digital é formado por sete segmentos no formato de um 8. Para formar um símbolo, cada segmento pode ficar iluminado ou apagado, com pelo menos um segmento iluminado.

Lista de atividades de matemática sobre Princípio Multiplicativo e Permutações para estudantes do ensino fundamental, médio e superior em matemática.

Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento iluminado isolado dos demais. Por exemplo: os três símbolos representados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já o símbolo da figura 2 não é conexo. Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos iluminados.

Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três segmentos iluminados.


2. (Enem 2ª aplicação) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir.

Museus nacionais Museus internacionais
Masp — São Paulo Louvre — Paris
MAM — São Paulo Prado — Madri
Ipiranga — São Paulo British Museum — Londres
Imperial — Petrópolis Metropolitan — Nova York

De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode escolher os 5 museus para visitar?
a) 6
b) 8
c) 20
d) 24
e) 36

 

 

3. Princípio Multiplicativo e Permutações: (Ufrj) Considere trajetórias estabelecidas no espaço por segmentos de reta consecutivos de modo que todos os segmentos tenham comprimento 1 e sejam paralelos a um dos seguintes vetores: (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0). Assim, as duas sequências de pontos a seguir definem trajetórias diferentes que partem do ponto (0,0,0) e chegam ao ponto (2,1,2); a primeira tem comprimento 5, e a segunda, comprimento 7.
Trajetória 1:
(0,0,0) → (1,0,0) → (1,1,0) → (2,1,0) → (2,1,1) → (2,1,2)
Trajetória 2:
(0,0,0) → (0,1,0) → (0,1,1) → (0,1,2) → (0,1,3) → (0,1,2) → (1,1,2) → (2,1,2)
Determine quantas trajetórias assim definidas partem do ponto (0,0,0), chegam ao ponto (4,3,2) e têm o menor comprimento possível.

 


4
. (Enem) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de
a) 60 min.
b) 90 min.
c) 120 min.
d) 180 min.

e) 360 min.

 


5
. Princípio Multiplicativo e Permutações: (Enem) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos
times do jogo de abertura podem ser calculadas através de
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
d) duas combinações.
e) dois arranjos.

 

Exercícios de Matemática sobre Conjuntos.


6
. Princípio Multiplicativo e Permutações: (Enem) A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, …, 59, 60}, custava R$ 1,50.

Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

 

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

a) 1 fração vez menor.


b)
fração vezes menor.
c) 4 vezes menor.
d) 9 vezes menor.
e) 14 vezes menor.

 


7
. (Enem cancelado) Em um concurso realizado em uma lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0, 1, 2 e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as cartas voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se quais delas continham o algarismo na posição correta dos algarismos do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$ 1,00 de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele ganharia R$ 2,00 de desconto.

Qual é a probabilidade de um consumidor não ganhar qualquer desconto?

 

8. Princípio Multiplicativo e Permutações: (Ufsm) O setor de nutrição de determinada cantina sugere, para uma refeição rica em carboidratos, 4 tipos de macarrão, 3 tipos de molho e 5 tipos de queijo. O total de opções para quem vai servir um tipo de macarrão, um tipo de molho e três tipos de queijo é
a) 2.5!
b) 5!
c) (5!)
2

 

9. (Ufrj) A figura a seguir representa um grafo, isto é, um conjunto de pontos (nós) ligados por segmentos (arestas). Se X e Y são dois nós do grafo, designamos por d(X, Y) o menor número de arestas necessárias para ir de X a Y , percorrendo exclusivamente um caminho sobre as arestas do grafo (assim, por exemplo, d(N, R) = 3).

a) Determine d(A, B).
b) Identifique os nós X e Y para os quais d(X, Y) é máximo. Nesse caso, quanto é
d (X, Y)?

 

10. Princípio Multiplicativo e Permutações: (Ufrj) Seja P o conjunto de todos os pontos (x, y, z) R3 tais que x {0, 1, 2}, y {0, 1, 2} e z {0, 1, 2}.
a) Quantos pontos possui o conjunto P?
b) Considere os subconjuntos de P formados por exatamente três pontos colineares. Determine, entre esses subconjuntos, quantos são formados apenas por pontos em que z = 1. Justifique sua resposta (faça um desenho, se preferir).

 

🔵 >>> Confira nossa lista completa de exercícios sobre Matemática.

 

Gabarito com as respostas das atividades de matemática sobre Princípio Multiplicativo e Permutações:

1. São 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados.

2. D
O professor pode escolher 3 museus no Brasil de   modos distintos e pode escolher 2 museus no exterior de maneiras. Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher os 5 museus para visitar de 4.6=24 maneiras diferentes.

3.
4 segmentos paralelos ao vetor (1,0,0)
3 segmentos paralelos ao vetor(0,1,0)
2 segmentos paralelos ao vetor (0,0,1)
Fazendo permutação com repetição temos:

4. B
5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades. Desconsiderando as simétricas, termos 60 sequências para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos.


5. A
Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa combinação.
Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua casa, então temos um arranjo.
Logo a alternativa A é a correta.


6. C
Número de possibilidades de 84 apostas de seis dezenas diferentes. 84.C6,5 = 84. 6 = 504
Número de possibilidades de se obter a quina com uma única aposta de 9 dezenas. C9,5 = 126
126 é a quarta parte de 504 logo a alternativa correta é a letra c.


7.
Observe o esquema que nos mostra as possíveis disposições dos algarismos

9 possibilidades
Número total de possibilidades: 4! = 24

Não existe alternativa correta.


8. B


9.
a) d(A,B) = 4.
b) A e C; d(A,C) = 6.


10.
a) Pelo PFC, o número de pontos de P é 3 . 3 . 3 = 27.
b) Fixando-se z = 1, temos 3 . 3 = 9 pontos. Estes pontos estão contidos num quadrado de lado 2 paralelo ao plano XOY, de acordo com a figura 1.
Na figura 2 temos as oito retas que passam exatamente por três desses pontos.

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